态射

数学上,一个态射(morphism)是两个数学结构之间保持结构的过程的一种抽象。

最常见的这种过程的例子是在某种意义上保持结构的函数或映射。例如，在集合论中，态射就是函数，在群论中，它们是群同态，而在拓扑学中，它们是连续函数。在泛代数(universal algebra)的范围，态射通常就是同态。

对态射和它们定义于其间的结构(或对象)的抽象研究构成了范畴论的一部分。在范畴论中，态射不必是函数，而通常被视为两个对象(不必是集合 )间的箭头。不象映射一个集合的元素到另外一个集合，它们只是表示域(domain)和陪域(codomain)间的某种关系。

尽管态射的本质是抽象的，多数人关于它们的直观(事实上包括大部分术语)来自于具体范畴的例子，在那里对象就是有附加结构的集合而 态射就是保持这种结构的函数。

[编辑] 定义

一个范畴C由两个数据给定：一个对象的类和一个态射的类.

有两个操作定义在每个态射上,域(domain)(或源)和陪域(codomain)(或目标).

态射经常用从域到他们的陪域的箭头来表示,例如若一个态射f域为X而陪域为Y,它记为f : X → Y. 所有从X 到Y的态射的集合记为hom_C(X,Y) 或者hom(X, Y). (有些作者采用Mor_C(X,Y) 或Mor(X, Y)).

对于任意三个对象X, Y, Z,存在一个二元运算 hom(X, Y) × hom(Y, Z) → hom(X, Z) 称为复合. f : X → Y和g : Y → Z的复合记为 或gf (有些作者采用fg.) 态射的复合经常采用交换图来表示.例如

态射必须满足两条公理:

• 存在恒等态射: 对于每个对象X,存在一个态射id_X : X → X 称为X上的恒等态射, 使得对于每个态射f : A → B 我们有.
• 满足结合律: 在任何操作有定义的时候.

当C是一个具体范畴的时候，复合只是通常的函数复合,恒等态射只是恒等函数,而结合律是自动满足的.(函数复合是结合的.)

注意域和陪域是决定态射的信息的真正部分.例如,在集合的范畴,其中态射是函数，两个函数可以作为有序对的集合相等,但却有不同的陪域. 这些函数从范畴论的目的来说被视为不同.因此，很多作者要求态射类hom(X, Y)是不交的.实际上,这不是一个问题,因为如果他们不是不交的,域和陪域可以加到态射上,(例如,作为一个有序三元组的第二和第三个分量),使得它们不交(互斥,disjoint).

[编辑] 态射的类型

• 同构(isomorphism):令f : X → Y为一个态射。若存在态射g : Y → X使得 和 成立，则f称为一个同构。 g 称为f的逆态射，逆态射g如果存在就是唯一的，而且显而易见g也是一个同构，其逆为f。两个对象之间有一个同构，那么这两个对象称为同构的或者等价的。同构是范畴论中态射的最重要种类。

• 满同态（epimorphism）：一个态射f : X → Y称为一个满同态，如果对于所有Y → Z的态射g₁，g₂ 成立。这也称为epi或epic. 具体范畴中的满同态通常是满射(surjective)函数，虽然并不总是这样。

• 单同态(monomorphosm)：态射f : X → Y 称为单同态，如果对于所有Y → Z的态射g₁，g₂，成立。 它也称为mono或者monic.具体范畴中的单同态通常为单射(injective)函数。

• 双同态(bimorphism)：若f既是满同态也是单同态，则称f为双同态(bimorphism)。

注意每个同构都是双同态，但不是每个双同态都是同构。例如，交换环的范畴中，包含映射Z → Q是一个双同态，但不是一个同构。如果在一个范畴中每个双同态都是同构，则这个范畴称为一个平衡范畴。例如，集合是一个平衡范畴。

• 自同态(endomorphism)：任何态射f : X → X称为X上的一个自同态。

• 自同构(automorphism)：若一个自同态也是同构的，那么称之为自同构。

• 若f : X → Y 和 g : Y → X 满足 可是证明f是满的而g是单的，而且 : X → X是幂等的.这种情况下，f和g称为分割(split). f称为g的收缩(retraction)而g称为f的截面。任何既是满同态又是分割单同态的态射，或者既是单同态又是分割满同态的态射必须是同构。

参看:

• 零态射
• 正规态射

[编辑] 例子

• 在泛代数中研究的具体范畴(例如群，环，模，等等)，态射称为同态。术语

同构，满同态，单同态，自同态，和自同构也都适用于这个特殊范围。

• 在拓扑空间范畴，态射是连续函数，而同构称为同胚。
• 在光滑流形范畴中，态射是光滑函数而同构称为微分同胚。
• 函子可以视为小范畴的范畴中的态射。
• 在函子范畴中，态射是自然变换。

更多的例子参看范畴论条目。